经典问题——两男孩问题（二）

作为对比，再次列出经典表述：

• 史密斯先生有两个孩子。其中至少一个是男孩。则两个孩子均为男孩的概率是多少？

表述歧义

• 史密斯先生有两个孩子。其中一个是男孩。则两个孩子均为男孩的概率是多少？

这里涉及到“其中一个”是特指还是泛指的问题。有人认为既然出现了“其中一个”，那么就能够将两个孩子区分开，设“其中一个”是 $1$ 号孩子，那么另一个就是 $2$ 号孩子。从而问题的答案变为 $1/2$。也可以认为“其中一个是男孩”是“至少一个是男孩”的等价表述，因此答案为 $1/3$。我倾向于后者的理解，因为数学上有很多类似的表述，用“其中一个”代指“存在一个”。这是一个完全的表述歧义问题，无需深究，只需要在讨论时明确题意即可。下文中均认为“其中一个孩子如何如何”等价于“存在如何如何的孩子”。

“另一个”所引发的歧义

• 史密斯先生有两个孩子。其中一个是男孩。则另一个也是男孩的概率是多少？

这里涉及到了“另一个”这一表述。由于“另一个”是相对于“一个”而言的，所以需要谨慎地定义问题。问题的关键在于“另一个”是否明确指代了一个孩子。

一种理解是，“其中一个”指代了一个具体的孩子。我们可将其编号为 $1$ 号孩子。那么“另一个”为 $2$ 号孩子。从而问题的答案变为 $1/2$。

另一种理解是，“其中一个”不指代具体的孩子。“另一个”是相对于“其中一个”而言的。那么上述表述可以理解为：

• 史密斯先生有两个孩子，我们将年长的孩子称为 $1$ 号孩子，年幼的孩子称为 $2$ 号孩子；
• 定义函数 $Sex(i):\{1,2\}\to \{B,G\}$，即从孩子编号映射到性别的函数。
• “其中一个是男孩”：定义事件 $X$：存在$i\in \{1,2\}$，使得 $Sex(i)=B$。
• “其中一个是男孩（的条件下），另一个也是男孩”：定义事件 $Y$：$Sex(i)=B$ 且 $Sex(3-i)=B$。
• 求 $P(Y|X)$。

那么这种理解下，答案为$1/3$。这可以通过列表观察得到。（$T$ 为“真”，$F$ 为“假”。）

家庭	概率	事件$X$	事件$X,Y$
$BB$	$1/4$	$T$	$T$
$BG$	$1/2$	$T$	$F$
$GG$	$1/4$	$F$	$F$

所以

$$P(Y|X)=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$$

我倾向于这种理解。也就是说，“另一个”是相对于“其中一个”而言的，设“其中一个”为 $1$ 号，则“另一个”为 $2$ 号。而“另一个也是男孩的概率”不能单独看做是“某个孩子是男孩”的概率，而要与“其中一个”连起来看待，即上述事件“$X,Y$”中的事件$Y$不能脱离事件$X$单独存在。

看起来这和上面的“表述歧义”类似，通过明确定义问题就可以避免歧义。但值得注意的是，“另一个”这种表述有时能引发意想不到的问题。

有人认为出现“另一个”一定是特指，基于这样两个问题：

• 史密斯先生有两个孩子。其中一个是男孩且出生于星期二。则另一个也是男孩的概率是多少？
• 史密斯先生有两个孩子。其中一个出生时刻为中午12:00前。则另一个是男孩的概率是多少？

在对“另一个”的理解不同时，答案会有不同。我们先讨论“星期二男孩”问题本身。

“星期二男孩”问题

我们先考虑一个歧义较少的版本。

• 史密斯先生有两个孩子。其中一个是男孩且出生于星期二。则史密斯先生家有两个男孩的概率是多少？

直观来看，男孩是否出生于星期二似乎与另一个孩子的性别无关，因此答案也许是 $1/2$ 或 $1/3$。我们试着用上述函数描述的方式来描述这个问题：

• 史密斯先生有两个孩子，我们将年长的孩子称为$1$号孩子，年幼的孩子称为$2$号孩子；
• 定义函数 $Sex(i):\{1,2\}\to \{B,G\}$，即从孩子编号映射到性别的函数。
• 定义函数 $DayOfBirth(i):\{1,2\}\to \{Mon,Tue,\dots ,Sun\}$，即从孩子编号映射到出生星期数的函数。
• “其中一个是男孩且出生于星期二”：定义事件 $X$：存在 $i\in \{1,2\}$，使得 $Sex(i)=B$ 且 $DayOfBirth(i)=Tue$。
• “史密斯先生家有两个男孩”：定义事件 $Y$：$Sex(1)=B$ 且 $Sex(2)=B$。
• 求 $P(Y|X)$。

按照这种表述，我们可以认为“其中一个是男孩且出生于星期二”等价于“有出生于星期二的男孩”。那么这个问题可以写为：

• 史密斯先生有两个孩子。其中有出生于星期二的男孩。则史密斯先生家有两个男孩的概率是多少？

问题的解

我们设孩子出生于星期二的概率为 $\epsilon$，即 $\epsilon =1/7$。将出生于星期二的男孩记为 $B_T$，出生于其他日子的男孩记为 $B_O$，仍然通过列表进行计算：

家庭	概率	事件$X$	事件$X,Y$
$B_T{B}_T$	$\frac{{\epsilon }^2}{4}$	$T$	$T$
$B_T{B}_O$	$\frac{2\epsilon (1-\epsilon )}{4}$	$T$	$T$
$B_O{B}_O$	$\frac{(1-\epsilon {)}^2}{4}$	$F$	$F$
$B_{T}G$	$\frac{\epsilon }{2}$	$T$	$F$
其他	-	$F$	$F$

所以

$$P(Y|X)=\frac{\frac{1-(1-\epsilon {)}^2}{4}}{\frac{1-(1-\epsilon {)}^2}{4}+\frac{\epsilon }{2}}=\frac{2-\epsilon }{4-\epsilon }=\frac{13}{27}$$

结果分析

为什么会获得如此反直觉的结果呢？这和我们之前所说的“抽样”改变概率本质上是一样的原理，即通过得知“有出生于星期二的男孩”，我们获得了比“至少一个是男孩”更多的信息。

首先需要强调的是，获取“有出生于星期二的男孩”这一信息的方式的不同是会改变所求概率的。答案为 $\frac{13}{27}$ 的前提是，我们是通过一个上帝视角来获取这一信息的，例如第三人告知、事先统计然后混洗等。在这一前提下，“星期二男孩”问题可以按如下方式描述：

• 将所有恰好有两个孩子的家庭信息写在卡片上；
• 筛选出有出生于星期二的男孩的家庭；
• 将满足条件的家庭卡片放入纸箱，充分混洗；
• 从纸箱中随机抽取一张卡片。

求抽到两男孩家庭的概率。

在这种情况下，为什么我们抽到两男孩家庭的概率略小于 $1/2$ 呢？我们可以想象这样的过程：

• 将所有恰好有两个孩子的家庭信息写在卡片上；
• 筛选出有出生于星期二的男孩的家庭；
• 我们在每张满足条件家庭卡片上粘贴一到两根线绳，每根线绳另一端连接着一颗小球。卡片上的家庭每有一个出生于星期二的男孩，则粘贴一根连接小球的线绳。这样，有的卡片会连接一颗小球，有的则会连接两颗。
• 将小球放入纸箱，充分混洗；
• 从纸箱中随机抽取一颗小球。

求小球所连接的卡片为两男孩家庭的概率。

不难理解，这样抽出的小球所连接的卡片为两男孩家庭的概率为 $1/2$。因为这相当于从所有“星期二男孩”中随机抽取一名男孩，调查他的兄弟姐妹的性别。

那么为什么抽取卡片抽到的概率与抽取小球不同呢？答案也显而易见了，因为某些卡片连接着两颗小球。如果总共有 $27$ 张卡片，那么平均意义下，会有 $1$ 张卡片连接着两颗小球，其它卡片连接着一颗小球，总共 $28$ 颗小球。如果从这 $28$ 颗小球中等可能地抽取，那么有 $14$ 颗小球连接着“两男孩家庭”卡片，故概率为 $1/2$。如果从 $27$ 张卡片中等可能地抽取，那么有 $13$ 张卡片是“两男孩家庭”。

列表查看这 $27$ 个家庭：

$B_T{B}_T$	$B_T{B}_O$	$B_T{B}_O$	$B_T{B}_O$	$B_T{B}_O$	$B_T{B}_O$	$B_T{B}_O$
	$B_O{B}_T$	$B_O{B}_T$	$B_O{B}_T$	$B_O{B}_T$	$B_O{B}_T$	$B_O{B}_T$
$B_T{G}_T$	$B_T{G}_O$	$B_T{G}_O$	$B_T{G}_O$	$B_T{G}_O$	$B_T{G}_O$	$B_T{G}_O$
$G_T{B}_T$	$G_O{B}_T$	$G_O{B}_T$	$G_O{B}_T$	$G_O{B}_T$	$G_O{B}_T$	$G_O{B}_T$

注意到只有 $B_T{B}_T$ 家庭卡片会连接两颗小球，其余家庭卡片均连接一颗小球。

从这些家庭中随机抽取一个家庭时，抽到两男孩家庭（$BB$）的概率比 $1/2$ 更小，可以这样理解：由于“星期二男孩”均匀分布在“一男一女”家庭（$BG$）中，但不完全均匀地分布在 $BB$ 家庭中。两类家庭的“星期二男孩”总数相同，故而拥有“星期二男孩”的 $BB$ 家庭数（$13$）是略小于拥有“星期二男孩”的 $BG$ 家庭数（$14$）的。因此随机抽取一个家庭时，抽到 $BB$ 的概率会略小于 $1/2$。

额外信息影响概率

那么为什么答案比 $1/3$ 大呢？这一点可以从获取额外信息的角度去理解。通过得知“有出生于星期二的男孩”，我们获得了两方面信息：

• 该家庭有男孩；
• 对该家庭的所有男孩查看出生于星期几，发现有出生于星期二的。

如果只有第一条信息，那么所求概率（$BB$）为 $1/3$。第二条信息显著增大了所求概率。其原因是，一个孩子出生于星期二的概率是比较小的（只有 $1/7$），而我们发现这个家庭有“星期二男孩”，那么我们会更倾向于认为这个家庭有两个男孩，否则如果只有一个男孩的话，恰好遇到“星期二男孩”也太巧了一点。如果这么说比较难理解，我们可以将数字放大试试：

• 有A、B两类人，他们都买彩票；
• A类人占总人数的 $10\%$，他们每期买一万注彩票；
• B类人占总人数的 $90\%$，他们每期只买一注彩票；
• 现在从这群人这种随机抽取一人，发现他中了彩票。

请问这个人更可能是A类人还是B类人？

答案显然是A类人。虽然A类人占总人数的比例更小，抽到A类人的概率本应比较小。但是我们发现他中了彩票，所以他更可能是买了一万注彩票的A类人。类似的，虽然 $BB$ 只占“有男孩家庭”的 $1/3$，但“两男孩家庭”中“有出生于星期二的男孩”的概率显著大于 $BG$，使得我们比原先更愿意相信该家庭为 $BB$。

另外，在所有“有男孩家庭”中，$BB$ 的数量应是 $BG$ 的一半。如果 $BB$ 中“有星期二男孩”的概率是 $BG$ 的恰好两倍，那么我们应认为“有星期二男孩”的家庭是 $BB$ 或 $BG$ 的概率各为 $1/2$。而事实上，$BB$ 中“有星期二男孩”的概率略小于 $BG$ 的两倍（分别为$\frac{13}{49}$和$\frac{1}{7}$），所以我们认为“有星期二男孩”的家庭是 $BB$ 的概率也略小于$1/2$。

事实上，观察之前的概率公式：

$$P(Y|X)=\frac{2-\epsilon }{4-\epsilon }$$

我们发现，当 $\epsilon$ 取更小的值时（例如改成男孩出生于某月1日、某年1月1日等），该概率趋近于$1/2$。这是因为 $\epsilon$ 很小时，$BB$ 家庭发生该事件的概率更接近 $BG$ 家庭的两倍。

$$\begin{array}{rl}P(\exists B\text{满足某条件}|BB)& =1-(1-\epsilon {)}^2=2\epsilon (1-\epsilon )\\ P(\exists B\text{满足某条件}|BG)& =\epsilon \end{array}$$

当 $\epsilon \to 0$ 时，$(1-\epsilon )\to 1$。所以

$$\begin{array}{rl}P(\exists B\text{满足某条件},BB)& =2\epsilon (1-\epsilon )\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}\epsilon (1-\epsilon )\\ P(\exists B\text{满足某条件},BG)& =\frac{1}{2}\epsilon \end{array}$$

$\epsilon \to 0$ 时两者近乎相等，故而后验概率均接近 $1/2$。

另一方面，当 $\epsilon \to 1$ 时（例如“有智力正常的男孩”、“有会说话的男孩”等），所求概率趋近于 $1/3$。这也很好理解，因为一个概率接近 $1$ 的事件所提供的信息是很少的，所以基本没有额外信息，在此条件下的后验概率也基本等于先验概率。

可见，通过分析“星期二男孩问题”，我们再次验证了之前的观点：获取额外的信息会影响概率。

所以，当分析概率问题时，要注意以下几点：

• 分析概率的主体：不同的主体（不同的人）掌握的信息不同，对同一事件所求得的概率也不同；
• 分析概率的时机：在不同时机，我们可能会掌握更多的信息（例如通过额外观察到某事件）或者更少的信息（例如通过混洗卡牌），从而影响我们对某事件发生的可能性的判断；
• 后发生的事件也能影响先前发生事件的概率，因为后发生的事件可能给我们带来额外的信息，从而影响我们对之前的某事件发生的可能性的判断；
• 其他人的行为也能影响我们对某事件所计算的概率，因为观察其他人的行为的结果可能给我们带来额外的信息。^[1]

对“特指”、“指明”、“限定”的理解

刚才说到，当选取其他事件代替“出生于星期二”这个事件时，会得到不同的 $\epsilon$，从而改变所求概率。如果我们选取比较具体的事件，例如“出生于2010年1月1日”，那么 $\epsilon$ 会相当接近 $0$（一个孩子出生于特定年月日的概率相当小），从而使得计算出的概率相当接近 $1/2$。如果我们采取更加具体的事件，例如“姓名为张三，且在2010年1月1日出生于北京”，那么所求概率将无限接近 $1/2$。这就等同于“指定其中一个是男孩”时的所求概率。

这也就是说，所谓的“特指”或“指明”，就是定义了一个只会发生在特定个体上的事件A，以至于

$$P(\text{随机选取一个个体，发生事件A})=0$$

注意概率为零并不代表不可能发生。而所谓的“限定”就是定义一个发生在特定群体上的事件B，使得

$$P(\text{随机选取一个个体，发生事件B})=\epsilon \in [0,1]$$

其中 $\epsilon$ 为该群体占总样本空间的比例。

“指明”和“限定”的概念对特定概率问题的理解是有帮助的，但是对于诸如“星期二男孩”类的问题就只能定性分析，而不能解释最后的答案为何小于 $1/2$。如要定量分析则需要得知上述 $\epsilon$。

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后续文章将继续讨论“另一个”所引发的歧义问题。

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1. 后发生的事件也能影响先前发生事件的概率，以及其他人的行为也能影响我们对某事件所计算的概率，在“三门问题”中都有所体现。 ↩︎